Ba viên xúc xắc: bảng tổng 3–18 và cách đếm 216 kết quả

Bài này tính phân bố tổng của ba viên xúc xắc sáu mặt công bằng, được gieo độc lập. Ta đếm kết quả có thứ tự; mục tiêu là tự kiểm tra phép tính, không dự đoán lượt gieo tiếp theo.

Vì sao có 216 kết quả?

Gọi ba kết quả là a, b và c. Mỗi biến có sáu khả năng, nên có 6 × 6 × 6 = 216 bộ có thứ tự. Bộ (1, 2, 3) và (3, 2, 1) là hai kết quả riêng vì vị trí của các viên khác nhau.

Bảng phân bố tổng từ 3 đến 18

Cộng cột số bộ được 216. Bảng đối xứng quanh 10,5: thay mỗi mặt x bằng 7 − x sẽ biến tổng s thành 21 − s mà không thay đổi số cách.

Ví dụ: tổng bằng 10

Các bộ không xét thứ tự là (1,3,6), (1,4,5), (2,2,6), (2,3,5), (2,4,4) và (3,3,4). Ba bộ có ba số khác nhau tạo 6 hoán vị mỗi bộ; ba bộ có hai số giống nhau tạo 3 hoán vị mỗi bộ. Tổng cộng 3 × 6 + 3 × 3 = 27 cách, nên xác suất là 27/216 = 1/8.

Tự kiểm tra và tránh đếm sai

1. Liệt kê a từ 1 đến 6.
2. Với mỗi a, liệt kê b từ 1 đến 6.
3. Với mỗi c từ 1 đến 6, tăng bộ đếm của tổng a + b + c.
4. Kiểm tra tổng số bộ là 216 và hai tổng đối xứng có cùng số cách.

Không gán xác suất bằng nhau cho 16 giá trị tổng. Các tổng có số bộ cấu thành khác nhau. Các con số trên là kết quả toán học theo giả định đã nêu, không phải số liệu thử nghiệm ngoài thực tế.